Lesson１２．荷重・せん断力・曲げモーメントの関係（２）

　ここでは、先のＬｅｓｓｏｎ１１で学んだ、梁の微分方程式の使い方について、解説していきます．


　梁の微分方程式への理解がより深められるよう、図１２－１に示すように、先のＬｅｓｓｏｎ１０で取り上げた、単純梁について考えます．

　座標系は右のように定めます．

(図１２-１）

 
①　まず作用する荷重を関数として捉えましょう．
　上の図で、等分布荷重なので、スパンが変化しても、その値　は常に一定であるので、Ｐｗ＝４kN/m（定数）とします．

②　次に梁の微分方程式を積分して、せん断力Ｑ（ｘ）、曲げモーメントＭ（ｘ）の式を求めます．
 
③　次に「境界条件」を考えます．境界条件とは簡単に言えば、上の式の積分定数Ｃを求めるための条件です．一般に、境界条件は支点の支持条件により決定されます．下の表に支点とその境界条件について示します．
支点の種類

ローラー


ピ　ン


固定端


自由端

境界条件
Ｍ（ｘ）＝０
ｗ（ｘ）＝０
Ｍ（ｘ）＝０
ｗ（ｘ）＝０
ｗ（ｘ）＝０
θ（ｘ）＝０
Ｑ（ｘ）＝０
Ｍ（ｘ）＝０
  　※　表中で、ｗ（ｘ）とは構造物に荷重が作用した時に生じる「たわみ」を、θ（ｘ）はたわみ曲線の接線と支点とを結んだ角度である「たわみ角」をさします．
　図１２－１の場合、ｘ＝０の点でピン支持、ｘ＝４ｍの点でローラー支持となっていますので、境界条件は
ｘ＝０〔Ｍ（０）〕の時：Ｍ＝０
ｘ＝４〔Ｍ（４）〕の時：Ｍ＝０　と２つの境界条件を示すことができます．

（２）式で求める積分定数はＣ１、Ｃ２の２つであるので 、上に示すように２つの境界条件が決まれば、Ｃ１、Ｃ２の値は一意的に決定される事が分かります．

　よって、積分定数Ｃ１、Ｃ２を求めると…
となり、（３）、（４）式はＬｅｓｓｏｎ１０で力の釣り合いにより求めた式と同じ式になることが分かります．
④　あとは、上で求めた式を元に応力図を描くだけです．




以上が、微分方程式を使って梁を解き方です．このとき方で解くことの利点は、解いてみてもらうと分かるのですが、「反力を求めなくても梁が解けてしまう」ことです．作用している荷重の関数と境界条件さえ決まれば、あとは簡単な積分で応力図が描けてしまうのですから、非常に早く解く事ができますので、ぜひ理解しておきましょう．

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